今天是白色情人节吗？是。
但今天也是“π日”。
我不知道，有多少人像我一样，从小就很纳闷——π这玩意儿，到底咋算出来的。
有人也许会说，这还不简单，圆周率嘛，圆周长和直径的比啊，这都不知道？不知道查百度啊，你这学怎么上的......
我不是这个意思。
我的意思是说，大家都知道，π是“无理数”，也叫“无限不循环小数”。翻译成人话，就是小数点之后永远没有尽头——因为不是两个整数之比。
现在，小数点后面已经算到60万亿位了。
可对于人力来说，甭说60万亿位，六位也能算死了吧？那这60万亿位到底咋出来的呢？
01 祖冲之的疑惑
一提圆周率，老外想到的首先是阿基米德，中国人首先想到的是祖冲之。
就算你数学不咋地，但学过历史，你也应该知道，公元5世纪，有个叫祖冲之的县长，把圆周率算到了“3.1415926与3.1415927之间”这么一个狭小的范围。
对于南北朝时代的人来说，这太炸裂了，对不？
不过，世界知道有祖冲之这么一号，倒不是因为这个演算结果。
据说，当年苏联的“月球3号”探测器，发现了一批月球上的陨石坑，想要用一批各个国家的科学名人来命名，就挨个儿给各国打电话：“你们那儿有什么牛X科学家？我们打算拿来给月球上的大坑命名。”
问到我们国家的时候，提到了祖冲之。在这之前，谁叫祖冲之，他是干嘛的，压根儿没人知道。
其实，祖冲之要算圆周率，并不是出于对数学的爱好，而是为了研究历法。他研究出了《大明历》（跟明朝没有关系），提出了在391年插入144个闰月的新玩法，并且首次引入了“岁差”的概念。
祖冲之的家庭，在那个崇尚门阀的时代，算不上啥大官。他的爷爷是刘宋朝的“大匠卿”，管土木工程的。具体出身是什么情况，咱就不讲了，您自行百度百科。
他研究圆周率的方法，也不是他自己发明的，而是早就有。古书上说“径一周三”，认为圆周率就是3，不过这等于没说——傻子拿一张大饼，把饼边儿都撕下来排成一条，也知道差不多是大饼直径的三倍。
这个世界上，不信邪的人总是很多，研究这个数，成了很多数学家的心结。到了东汉，张衡算的圆周率是3.162，魏晋的数学家刘徽又算出3.1416。
这就完了么？远远不够。历法这东西，总是越精密越好——因为地球太阳月亮还有它们的运行轨道很烦人，转来转去，总有误差。这种误差，一年两年你还看不出来，一旦时间的力量长久加持，这误差就太吓人了，到最后大夏天刮西北风，大冬天穿比基尼，这日子就甭过了。
祖冲之决定把圆周率继续算下去，但用的方法，还是刘徽记载过的“割圆法”。说白了，就是不断倍增圆内接正多边形的边数，从内接六边形开始，一直无限倍增。
这叫什么？这其实就叫微积分，只不过当时古人没有这个概念罢了。
祖冲之怎么算π的，在《隋书·律历志》有很详细的记载：
“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”
不过，这种“割圆法”还可以继续穷尽下去，到1610年，德国人算到了小数点以后35位。
祖冲之老先生的结果一直领先了800年，祖先生威武。
02 牛顿的公式
不过，虽然“割圆法”在理论上可以无限制地分下去，但理论毕竟是理论。真算到一定程度，就来到了人力穷尽的边界。据说16世纪晚期，法国有个哥们儿，算过内接圆的正393216边形。17世纪的时候，这个记录又被荷兰人打破，算了一个“正2的62次方”边形。
咔，想想都惊悚。
很显然，要想继续把这玩意儿算下去，就需要其他方法，不然真会死人的。
1666年，有个英国小伙子叫牛顿，因为躲黑死病在家隔离。隔离，对咱们很多人来说都不陌生了，这也干不了，那也干不了。
干嘛去呢？算数玩儿吧！
这个期间，苹果砸牛顿脑袋上其实倒不一定发生过，但他闲的没事算了很多简单式倒是真的——比如（1+x）2。
这个东西展开，就=（1+x）（1+x）=1+2X+X2
以此类推，（1+X）3=（1+x）(1+2x+x2)=1+3X+3X2+X3
再往下，自己算去吧，公众号里写这玩意儿太累了。总之就是（1+X）n
如果你只看X乘方的系数，你就会发现，这就是一个“帕斯卡三角”
牛顿就想，如果（1+X）n的n不是正整数呢？比如是负数呢？有限项一下就变成无限项了，也就是无穷级数。
如果（1+X）n的n居然连负数都不是了呢？是分数了呢？
好玩的事就来了。因为圆的方程，恰好是X2+Y2=1
所以呢？
这就跟上面的那个式子完全一样了嘛，无非是把“X”替换成“-X2”就好了。
最后呢？设我们说的圆是个“单位圆”——也就是平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为1的圆。将曲线在[0,1]这一段来个积分，你就得到了1/4个圆的面积，又因为你知道圆形的面积公式是S=π*R的平方
于是一顿折腾后，你就得到了这个——
但是这东西收敛得太慢了，能不能收敛快一点呢？
于是又一顿折腾后，不再算1/4个圆，改成只算1/4圆里的一部分，式子就变成了这样——
并最终得到了这个——
要实现上文说到过的“正2的62次方”边形的计算精度，你只需要照着这个公式算50位就行了。
所以我们知道了，之所以π如今能够算到小数点之后60万亿位，真不是不断“割圆”算出来的。
03 科学的力量
无可否认，祖冲之老爷子的成就巨大。独领世界风骚800年，泰山不是堆的，牛逼不是吹的。
但我们也不可否认，与牛顿（无穷级数的算法发明人，其实还有其他说法）的公式比起来，祖老爷子的辉煌成就，则完全是另一个路数。（当然，我们也说了，祖老爷子的初衷就不是为了研究算法，而是为了研究历法）
我们平常总说“科技科技”，但科技与科技之间，差别也蛮大。
有一种科技，意味着捏沙成团，无中生有，发前人所未发，想前人所未想，在没有路的地方走出路来。
另一种科技，是将已经有的路拓宽、拓深，做到无人能极的极致。
两种科技，都足够赢得世人的尊敬。但我们要看到，第二种科技，经常成为第一种科技的附庸，沦为低附加值的附属品，尽管你足够努力、足够拼搏，也总是在别人打开的路上走路，到哪年哪月，也是要交过路费的。
那么，怎办哩？
这么说吧，祖冲之老爷子的家庭出身，我们已经说了，《大明历》，说白了是进献给皇帝用的一种规矩天下的工具。
而牛顿小时候就死了爹，成天威胁要把继父和母亲一起烧掉，小时候是个标准的问题少年，成绩一般，但什么都爱玩，对化学、数学、神学都同时爱的发疯，晚年甚至还沉迷在炼金术里。
让孩子当“好学生”交论文，还是让孩子神神叨叨玩科学，不一定是答案，但可能有点启发。
最后说一句，如果“牛顿公式”的推倒过程你没看懂，就自己上网去查吧，反正我这水平也就解释到这儿了。
作者：EvEtt 公众号：大闲人咖啡馆
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